알고리즘 - 동적계획법 (2579 계단오르기)

문제

계단 오르기 게임은 계단 아래 시작점부터 계단 꼭대기에 위치한 도착점까지 가는 게임이다. <그림 1>과 같이 각각의 계단에는 일정한 점수가 쓰여 있는데 계단을 밟으면 그 계단에 쓰여 있는 점수를 얻게 된다.

<그림 1>

예를 들어 <그림 2>와 같이 시작점에서부터 첫 번째, 두 번째, 네 번째, 여섯 번째 계단을 밟아 도착점에 도달하면 총 점수는 10 + 20 + 25 + 20 = 75점이 된다.

<그림 2>

계단 오르는 데는 다음과 같은 규칙이 있다.

1. 계단은 한 번에 한 계단씩 또는 두 계단씩 오를 수 있다. 즉, 한 계단을 밟으면서 이어서 다음 계단이나, 다음 다음 계단으로 오를 수 있다.
2. 연속된 세 개의 계단을 모두 밟아서는 안 된다. 단, 시작점은 계단에 포함되지 않는다.
3. 마지막 도착 계단은 반드시 밟아야 한다.

따라서 첫 번째 계단을 밟고 이어 두 번째 계단이나, 세 번째 계단으로 오를 수 있다. 하지만, 첫 번째 계단을 밟고 이어 네 번째 계단으로 올라가거나, 첫 번째, 두 번째, 세 번째 계단을 연속해서 모두 밟을 수는 없다.

각 계단에 쓰여 있는 점수가 주어질 때 이 게임에서 얻을 수 있는 총 점수의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

입력의 첫째 줄에 계단의 개수가 주어진다.

둘째 줄부터 한 줄에 하나씩 제일 아래에 놓인 계단부터 순서대로 각 계단에 쓰여 있는 점수가 주어진다. 계단의 개수는 300이하의 자연수이고, 계단에 쓰여 있는 점수는 10,000이하의 자연수이다.

출력

첫째 줄에 계단 오르기 게임에서 얻을 수 있는 총 점수의 최댓값을 출력한다.

예제 입력 1 복사

6
10
20
15
25
10
20

예제 출력 1 복사

75

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문제 요약

마지막 계단은 무조건 밝아야 하며, 한 번에 1~2개씩 오를 수 있고 연속 3개를 밝아서는 안된다.

 

접근 방식

마지막 계단은 무조건 밟아야 하므로 for문을 통해 현재 위치까지의 최단 거리를 계산한다.

 

 

계단	값
1번째 계단	1번째
2번째 계단	1+2
3번째 계단	1+3 2+3 중 큰 수
4번째 계단	4번째 계단 + 2번째 까지의 최댓값 4번째 계단 + 3번째계단 + 1번째 계단의 최댓값

이것을 일반화하면

N번째 계단 = N번째 계단 + N-2번째의 최대값  or  N번째 계단 + N-1번째계단 + N-3번째 계단의 최댓값 이다.

 

그럼 왜 이렇게 될까?

N번째 계단은 먼저 N번째 계단을 밟는다는 것이다. 그럼 이 이전에 N-1과 N-2를 동시에 못 밟는다.

그럼 N-1를 밟을때와 N-2를 밟을때를 나눠야 하고,

N-1을 밟을 때는 N-3이 결국 그 이전까찌 어떤 방법으로든 상관없이 최댓값이기 때문이고

N-2는 그 자체로 그 계단을 밟기 위해 어떤 방법이든 상관없이 최댓값이기만 하면 되기 때문이다.

  

 

N = int(input())
stair = [int(input()) for i in range(N)]
n = [0 for i in range(N)]
 
def find():
    if N == 1:
        return stair[0]
    n[0] = stair[0]
    n[1] = stair[1] + stair[0]
    if N == 2:
        return n[1]
    
    n[2] = stair[2]+(stair[0] if stair[0] > stair[1] else stair[1])
    if N==3:
        return n[2]
    
    for i in range(3,N):
        n[i] = stair[i] + (n[i-2] if n[i-2] > stair[i-1] + n[i-3] else stair[i-1] + n[i-3])
    return n[N-1]
 
print(find())